Ускорение Системы

Теоре́ма о движе́нии це́нтра масс (це́нтра ине́рции) системы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Утверждает, что ускорение центра масс механической системы не зависит от внутренних сил, действующих на тела системы, и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему.

Объектами, о которых идёт речь в теореме, могут, в частности, являться следующие:

• протяжённое тело или система протяжённых тел;
• вообще любая механическая система, состоящая из любых тел.

Нередко при рассмотрении движения системы полезно знать закон движения её центра масс. В общем случае этот закон, составляющий содержание утверждения теоремы о движении центра масс системы, формулируется следующим образом:

Пусть система состоит из N{\displaystyle N} материальных точек с массами mi{\displaystyle m_{i}} и радиус-векторами r→i{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}. Как известно, центром масс (центром инерции) системы материальных точек называется геометрическая точка, радиус-вектор R→c{\displaystyle {\vec {R}}_{c}} которой удовлетворяет равенству

R→c=∑imir→iM, (2){\displaystyle {\vec {a}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}}{M}}, \qquad \qquad (2)}

где a→i{\displaystyle {\vec {a}}_{i}} — ускорение материальной точки с номером .

Для последующего рассмотрения целесообразно разделить все силы, действующие на тела системы, на два типа:

• Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером обозначим F→i{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}.
• Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером действует точка с номером , будем обозначать f→i, k{\displaystyle {\vec {f}}_{i, k}}. Соответственно, сила воздействия -й точки на -ю точку будет обозначаться f→k, i{\displaystyle {\vec {f}}_{k, i}}. Из сказанного очевидно, что если i=k{\displaystyle i=k}, то f→i, k=0.{\displaystyle {\vec {f}}_{i, k}=0.}

Используя введённые обозначения, второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек можно записать в виде

mia→i=F→i+∑kf→i, k.(4){\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i, k}.\qquad \qquad (4)}